Question

8．已知实数x，y满足$\left\{\begin{array}{l}3x-2y-3≤0\\ x-3y+6≥0\\ 2x+y-2≥0\end{array}\right.$，在这两个实数x，y之间插入三个实数，使这五个数构成等差数列，那么这个等差数列后三项和的最大值为9．

Answer 1

分析 利用数列的关系推出三项和关于x，y的表达式，画出约束条件的可行域，利用线性规划知识求解最值．

解答 解：设构成等差数列的五个数分别为x，a，b，c，y，
因为等差数列的公差$d=\frac{y-x}{4}$，
则$b+c+y=（x+2×\frac{y-x}{4}）+（x+3×\frac{y-x}{4}）+y=\frac{3}{4}（x+3y）$
（另解：因为由等差数列的性质有x+y=a+c=2b，
所以$b=\frac{x+y}{2}，c=\frac{b+y}{2}=\frac{{\frac{x+y}{2}+y}}{2}$．）
则等差数列后三项和为
$b+c+y=\frac{x+y}{2}+\frac{{\frac{x+y}{2}+y}}{2}+y$=$\frac{3}{4}x+\frac{9}{4}y$
=$\frac{3}{4}（x+3y）$．）．
所以设z=x+3y，实数x，y满足$\left\{\begin{array}{l}3x-2y-3≤0\\ x-3y+6≥0\\ 2x+y-2≥0\end{array}\right.$，
作出约束条件所表示的可行域如图所示：
可知当经过点A（3，3）时，
目标函数z=x+3y有最大值12，此时b+c+y有最大值9．
故答案为：9．

点评 本题考查数列以及线性规划的简单应用，考查数形结合以及计算能力．