Question

20．已知曲线C的极坐标方程是ρ=6cosθ，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线l的参数方程是$\left\{\begin{array}{l}{x=1+tcosα}\\{y=tsinα}\end{array}\right.$（t为参数）．
（1）将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程（普通方程）；
（2）若直线l与曲线C相交于A、B两点，且|AB|=2$\sqrt{7}$，求直线的倾斜角α的值．

Answer 1

分析 （1）利用极坐标与直角坐标的互化方法，可将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程（普通方程）；
（2）直线l的参数方程是$\left\{\begin{array}{l}{x=1+tcosα}\\{y=tsinα}\end{array}\right.$（t为参数），代入圆的方程，整理可得t²-4tcosα-5=0，利用参数的几何意义，建立方程，即可求直线的倾斜角α的值．

解答 解：（1）曲线C的极坐标方程是ρ=6cosθ，可得ρ²=6ρcosθ，直角坐标方程为x²+y²-6x=0，即（x-3）²+y²=9
（2）直线l的参数方程是$\left\{\begin{array}{l}{x=1+tcosα}\\{y=tsinα}\end{array}\right.$（t为参数），代入圆的方程，整理可得t²-4tcosα-5=0
设A，B对应的参数为t₁，t₂，则t₁+t₂=4cosα，t₁t₂=-5，
∴|AB|=|t₁-t₂|=$\sqrt{16co{s}^{2}α+20}$=2$\sqrt{7}$，
∴cosα=±$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∵α∈[0，π），
∴α=$\frac{π}{4}$或$\frac{3π}{4}$．

点评 本题考查极坐标化为直角坐标，考查参数方程的运用，考查参数的几何意义，属于中档题．