Question

12．已知函数f（x）=2cosx（sinx+cosx），x∈R．
（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）求函数f（x）的单调递增区间；
（Ⅲ）求函数f（x）在区间[-$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{4}$]上的最小值和最大值．

Answer 1

分析 （ I）化函数f（x）为正弦型函数，求出f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）根据正弦函数的单调性求出f（x）的单调增区间；
（III）根据x的取值范围求出2x+$\frac{π}{4}$的取值范围，从而求出f（x）的最值．

解答 解：（ I）函数f（x）=2cosx（sinx+cosx）
=2sinxcosx+2cos²x
=sin2x+cos2x+1
=$\sqrt{2}$sin（2x+$\frac{π}{4}$）+1，
∴函数f（x）的最小正周期为：
T=$\frac{2π}{ω}$=π；
（Ⅱ） 由$2kπ-\frac{π}{2}≤2x+\frac{π}{4}≤2kπ+\frac{π}{2}$，
解得$kπ-\frac{3π}{8}≤x≤kπ+\frac{π}{8}$，
∴函数f（x）的单调递增区间为
$[kπ-\frac{3π}{8}，kπ+\frac{π}{8}]$（k∈Z）；
（ III）由 $-\frac{π}{4}≤x≤\frac{π}{4}$，
得 $-\frac{π}{4}≤2x+\frac{π}{4}≤\frac{3π}{4}$，
令2x+$\frac{π}{4}$=-$\frac{π}{4}$，解得x=-$\frac{π}{4}$，
∴f（x）_min=$f（-\frac{π}{4}）$=$\sqrt{2}$×（-$\frac{\sqrt{2}}{2}$）+1=0，
令2x+$\frac{π}{4}$=$\frac{π}{2}$，解得x=$\frac{π}{8}$，
∴f（x）_max=$f（\frac{π}{8}）$=$\sqrt{2}$×1+1=$\sqrt{2}$+1．

点评 本题考查了三角函数的图象与性质的应用问题，也考查了三角恒等变换问题，是基础题目．