Question

16．已知双曲线$\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{b^2}=1（b＞0）$，以原点为圆心，双曲线的实半轴为半径长的圆与双曲线的两条渐近线相交于A．B．C．D．四点，四边形ABCD的面积为2b，则双曲线的方程为$\frac{{x}^{2}}{4}$-$\frac{{y}^{2}}{12}$=1．

Answer 1

分析 以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的圆的方程为x²+y²=4，双曲线的两条渐近线方程为y=±$\frac{b}{2}$x，利用四边形ABCD的面积为2b，求出A的坐标，代入圆的方程，即可得出结论．

解答 解：以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的圆的方程为x²+y²=4，
双曲线的两条渐近线方程为y=±$\frac{b}{2}$x，
设A（x，$\frac{b}{2}$x），∵四边形ABCD即矩形ABCD的面积为2b，
∴2x•bx=2b，
∴x=±1，
将A（1，$\frac{b}{2}$）代入x²+y²=4，可得1+$\frac{{b}^{2}}{4}$=4，∴b²=12，
∴双曲线的方程为$\frac{{x}^{2}}{4}$-$\frac{{y}^{2}}{12}$=1，
故答案为：$\frac{{x}^{2}}{4}$-$\frac{{y}^{2}}{12}$=1．

点评 本题考查双曲线的方程与性质，注意运用方程思想和代入法，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．