Question

8．已知函数F（x）=e^x满足F（x）=g（x）+h（x），且g（x），h（x）分别是定义在R上的偶函数和奇函数．
（1）求函数h（x）的反函数；
（2）已知φ（x）=g（x-1），若函数φ（x）在[-1，3]上满足φ（2a+1＞φ（-$\frac{a}{2}$），求实数a的取值范围；
（3）若对于任意x∈（0，2]不等式g（2x）-ah（x）≥0恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由题意可得：e^x=g（x）+h（x），e^-x=g（-x）+h（-x）=g（x）-h（x），联立解得：g（x），h（x）．由y=$\frac{{e}^{x}-{e}^{-x}}{2}$，化为：（e^x）²-2ye^x-1=0，e^x＞0，解得e^x=y+$\sqrt{{y}^{2}+1}$．可得h^-1（x）．
（2）φ（x）=g（x-1），函数φ（x）在[-1，3]上满足φ（2a+1＞φ（-$\frac{a}{2}$），转化为：函数g（x）在[-2，2]上满足：g（2a）＞g（-$\frac{a}{2}$-1），由于函数g（x）在[0，+∞）上单调递增，且函数g（x）为偶函数，可得|2a|＞|-$\frac{a}{2}$-1|，-2≤2a≤2，-2≤-$\frac{a}{2}$-1≤2，解得a范围．
（3）不等式g（2x）-ah（x）≥0，即$\frac{{e}^{2x}+{e}^{-2x}}{2}$-$a×\frac{{e}^{x}-{e}^{-x}}{2}$≥0，令t=e^x-e^-x，由x∈（0，2]，可得t∈（0，e²-e^-2]，不等式转化为：t²+2-at≥0，a≤t+$\frac{2}{t}$，利用基本不等式的性质即可得出．

解答 解：（1）由题意可得：e^x=g（x）+h（x），e^-x=g（-x）+h（-x）=g（x）-h（x），
联立解得：g（x）=$\frac{{e}^{x}+{e}^{-x}}{2}$，h（x）=$\frac{{e}^{x}-{e}^{-x}}{2}$．
由y=$\frac{{e}^{x}-{e}^{-x}}{2}$，化为：（e^x）²-2ye^x-1=0，e^x＞0，解得e^x=y+$\sqrt{{y}^{2}+1}$．
∴h^-1（x）=ln$（x+\sqrt{{x}^{2}+1}）$（x∈R）．
（2）φ（x）=g（x-1），函数φ（x）在[-1，3]上满足φ（2a+1＞φ（-$\frac{a}{2}$），
转化为：函数g（x）在[-2，2]上满足：g（2a）＞g（-$\frac{a}{2}$-1），
由于函数g（x）在[0，+∞）上单调递增，且函数g（x）为偶函数，
∴|2a|＞|-$\frac{a}{2}$-1|，-2≤2a≤2，-2≤-$\frac{a}{2}$-1≤2，解得a∈$[-1，-\frac{2}{5}）$∪$（\frac{2}{3}，1]$．
（3）不等式g（2x）-ah（x）≥0，即$\frac{{e}^{2x}+{e}^{-2x}}{2}$-$a×\frac{{e}^{x}-{e}^{-x}}{2}$≥0，
令t=e^x-e^-x，由x∈（0，2]，可得t∈（0，e²-e^-2]，
不等式转化为：t²+2-at≥0，∴a≤t+$\frac{2}{t}$，∵t+$\frac{2}{t}$≥2$\sqrt{2}$，当且仅当t=$\sqrt{2}$时取等号．
∴a≤2$\sqrt{2}$．

点评 本题考查了指数函数与对数的运算性质及其函数的单调性、函数的奇偶性、不等式的解法、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于难题．