Question

16．已知a＞b＞0，a^b=b^a，有如下四个结论：
①b＜e；②b＞e；③?a，b满足a•b＜e²；④a•b＞e²．
则正确结论的序号是（　　）

• A． ①③
• B． ②③
• C． ①④
• D． ②④

Answer 1

分析 根据题意，用特殊值代入计算，即可判断命题是否正确．

解答 解：【特殊值法】a＞b＞0，a^b=b^a，
不妨令a=4，b=2，满足条件；
则a=4＞e，b=2＜e，①正确，②错误；
又ab=2×4＞e²，④正确，③错误；
综上，正确的命题是①④．
【直接法】a＞b＞0，a^b=b^a，
∴blna=alnb，
∴$\frac{lna}{a}$=$\frac{lnb}{b}$；
设f（x）=$\frac{lnx}{x}$（x＞0），
则f′（x）=$\frac{1-lnx}{{x}^{2}}$，
令f′（x）=0，得1-lnx=0，解得x=e；
∴x∈（0，e）时，f′（x）＞0，f（x）是增函数；
x∈（e，+∞）时，f′（x）＜0，f（x）是减函数；
∴x=e时f（x）取得最大值为f（e）=$\frac{1}{e}$；
由函数的图象知，a、b中a＞e，1＜b＜e，∴①正确，②错误；
由$\frac{lna}{a}$=$\frac{lnb}{b}$=k＞0，
∴$\left\{\begin{array}{l}{lna=at①}\\{lnb=bt②}\end{array}\right.$
①-②得$\frac{lna-lnb}{a-b}$=t
①+②得lna+lnb=t（a+b）=$\frac{ln\frac{a}{b}（a+b）}{a-b}$=$\frac{（\frac{a}{b}+1）ln\frac{a}{b}}{\frac{a}{b}-1}$
lna+lnb-2=$\frac{（\frac{a}{b}+1）ln\frac{a}{b}}{\frac{a}{b}-1}$-2③
令u=$\frac{a}{b}$，则③式变为
lna+lnb-2=$\frac{（u+1）lnu}{u-1}$-2=$\frac{u+1}{u-1}$（lnu-$\frac{2（u-1）}{u+1}$）
∵a＞e，1＜b＜e，∴u∈（0，1）
另f（u）=lnu-$\frac{2（u-1）}{u+1}$
∵f′（u）=$\frac{1}{u}$-$\frac{4}{（u+1）^{2}}$＜0，∴f（u）在（0，1）上单调递减，f（u）＜0，
由∵u-1＜0，
∴lna-lnb＞2
∴a•b＞e²，③错误，④正确．
综上，正确结论的序号是①④．
故选：C．

点评 本题考查了用特殊值判断数值大小的应用问题，是基础题．