Question

8．已知函数f（$\frac{x}{2}$）=-$\frac{1}{8}$x³+$\frac{m}{4}$x²-m（0＜m＜20）．
（1）讨论函数f（x）在区间[2，6]上的单调性；
（2）若曲线y=f（x）仅在两个不同的点A（x₁，f（x₁）），B（x₂，f（x₂））处的切线都经过点（2，lg$\frac{1}{a}$），其中a≥1，求m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求得f（x）=-x³+mx²-m，求出导数，讨论当$\frac{2m}{3}$≥6即9≤m＜20时，当2＜$\frac{2m}{3}$＜6，即为3＜m＜9时，当$\frac{2m}{3}$≤2，即0＜m≤3时，可得f（x）的单调性；
（2）求出f（x）的导数，可得A，B处的切线方程，代入点（2，-lga），可得x₁，x₂为方程-lga-（-x³+mx²-m）=（-3x²+2mx）（2-x）的两个不等实根，化简整理可得，2x³-（m+6）x²+4mx-m+lga=0，令g（x）=2x³-（m+6）x²+4mx-m+lga，求出导数和极值点，由题意可得g（x）必有一个极值为0，对m讨论，结合a≥1，解不等式即可得到所求m的范围．

解答 解：（1）函数f（$\frac{x}{2}$）=-$\frac{1}{8}$x³+$\frac{m}{4}$x²-m，
可得f（x）=-x³+mx²-m，
f′（x）=-3x²+2mx=-x（3x-2m），
当$\frac{2m}{3}$≥6即9≤m＜20时，函数f（x）在区间[2，6]上的单调递增；
当2＜$\frac{2m}{3}$＜6，即为3＜m＜9时，f（x）在[2，$\frac{2m}{3}$）递增，在（$\frac{2m}{3}$，6]递减；
当$\frac{2m}{3}$≤2，即0＜m≤3时，函数f（x）在区间[2，6]上的单调递减；
（2）f′（x）=-3x²+2mx，可得A处的切线方程：y-（-x₁³+mx₁²-m）=（-3x₁²+2mx）（x-x₁），
同理可得B处的切线方程：y-（-x₂³+mx₂²-m）=（-3x₂²+2mx）（x-x₂），
代入点（2，-lga），可得x₁，x₂为方程-lga-（-x³+mx²-m）=（-3x²+2mx）（2-x）的两个不等实根，
化简整理可得，2x³-（m+6）x²+4mx-m+lga=0，
令g（x）=2x³-（m+6）x²+4mx-m+lga，g′（x）=6x²-2（m+6）x+4m=2（3x-m）（x-2），
由0＜m＜20，可得g′（x）=0，可得x=2或x=$\frac{m}{3}$．
g（2）=3m-8+lga，g（$\frac{m}{3}$）=-$\frac{1}{27}$m³+$\frac{2}{3}$m²-m+lga，
由题意可得g（x）必有一个极值为0，
（Ⅰ）若$\frac{1}{3}$m＜2，即0＜m＜6，由g（2）=0，g（$\frac{m}{3}$）＞0，
可得lga=8-3m≥0，即m≤$\frac{8}{3}$，
则g（$\frac{m}{3}$）=-$\frac{1}{27}$m³+$\frac{2}{3}$m²-m+8-3m=-$\frac{1}{27}$（m-6）³＞0成立，
即有0＜m≤$\frac{8}{3}$；①
由g（2）＜0，g（$\frac{m}{3}$）=0，
可得lga+3m-8＜0，-$\frac{1}{27}$m³+$\frac{2}{3}$m²-m+lga=0，
由lga≥0，可得0≤m≤9-3$\sqrt{6}$或m≥9+3$\sqrt{6}$，
由g（2）=$\frac{1}{27}$m³-$\frac{2}{3}$m²+m-8+3m=$\frac{1}{27}$（m-6）³＜0，
解得m＜6，即有0＜m≤9-3$\sqrt{6}$；②
（Ⅱ）若$\frac{1}{3}$m＞2，即6＜m＜20，由g（2）=0，g（$\frac{m}{3}$）＜0，
可得lga=8-3m≥0，即m≤$\frac{8}{3}$，
则m无解；③
由g（2）＞0，g（$\frac{m}{3}$）=0，
可得lga+3m-8＞0，-$\frac{1}{27}$m³+$\frac{2}{3}$m²-m+lga=0，
由lga≥0，可得0≤m≤9-3$\sqrt{6}$或m≥9+3$\sqrt{6}$，
由g（2）=$\frac{1}{27}$m³-$\frac{2}{3}$m²+m-8+3m=$\frac{1}{27}$（m-6）³＞0，
解得m＞6，即有9+3$\sqrt{6}$≤m＜20，④
综上可得，0＜m≤$\frac{8}{3}$或9+3$\sqrt{6}$≤m＜20．

点评 本题考查导数的运用：求单调性和切线方程，注意运用分类讨论的思想方法和转化思想的运用，考查化简整理的运算能力，综合性强，具有一定的难度．