Question

17．在四面体ABCD中，A-BD-C为直二面角，AB=AD=5，BC=CD=DB=6，则直线AC与平面BCD所成角的正弦值为$\frac{4\sqrt{43}}{43}$．

Answer 1

分析 取BD中点O，连结AO，CO，则AO⊥平面BDC，AO⊥BD，CO⊥BD，从而∠AOC是二面角A-BD-C 平面角，且∠AOC=90°，由AO⊥平面BDC，知∠ACO是直线AC与平面BCD所成角，由此能求出直线AC与平面BCD所成角的正弦值．

解答 解：如图，取BD中点O，连结AO，CO，
∵在四面体ABCD中，A-BD-C为直二面角，AB=AD=5，BC=CD=DB=6，
∴AO⊥平面BDC，AO⊥BD，CO⊥BD，
∴∠AOC是二面角A-BD-C 平面角，且∠AOC=90°，
∵AO⊥平面BDC，∴∠ACO是直线AC与平面BCD所成角，
∵AB=AD=5，BC=CD=DB=6，
∴AO=$\sqrt{{5}^{2}-{3}^{2}}$=4，CO=$\sqrt{{6}^{2}-{3}^{2}}$=3$\sqrt{3}$，AC=$\sqrt{16+27}$=$\sqrt{43}$，
∴sin∠ACO=$\frac{AO}{AC}$=$\frac{4}{\sqrt{43}}=\frac{4\sqrt{43}}{43}$．
∴直线AC与平面BCD所成角的正弦值为$\frac{4\sqrt{43}}{43}$．
故答案为：$\frac{4\sqrt{43}}{43}$．

点评 本题考查线面角的正弦值的求法；考查逻辑推理与空间想象能力，运算求解能力；考查数形结合、化归转化思想．是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．