Question

8．四棱锥P-ABCD中，四边形ABCD为平行四边形，AC与BD交于点O，点G为BD上一点，BG=2GD，$\overrightarrow{PA}$=$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{PB}$=$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{PC}$=$\overrightarrow{c}$，用基底{$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{c}$}表示向量$\overrightarrow{BG}$=$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{a}$-$\frac{4}{3}$$\overrightarrow{b}$+$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{c}$．

Answer 1

分析 利用向量的三角形法则、平行四边形法则即可得出．

解答 解：$\overrightarrow{PG}$=$\overrightarrow{PB}$+$\overrightarrow{BG}$=$\overrightarrow{PB}$+$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{BD}$=$\overrightarrow{PB}$+$\frac{2}{3}$（$\overrightarrow{BA}$+$\overrightarrow{BC}$）=$\overrightarrow{PB}$+$\frac{2}{3}$（$\overrightarrow{PA}$-$\overrightarrow{PB}$+$\overrightarrow{PC}$-$\overrightarrow{PB}$）=$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{PA}$-$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{PB}$+$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{PC}$=$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{a}$-$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{b}$+$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{c}$，
而$\overrightarrow{PB}$=$\overrightarrow{PG}$+$\overrightarrow{GB}$，
故$\overrightarrow{BG}$=$\overrightarrow{PG}$-$\overrightarrow{PB}$=$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{a}$-$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{b}$+$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{c}$-$\overrightarrow{b}$=$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{a}$-$\frac{4}{3}$$\overrightarrow{b}$+$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{c}$，
故答案为：$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{a}$-$\frac{4}{3}$$\overrightarrow{b}$+$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{c}$．

点评 本题考查了向量的三角形法则、平行四边形法则及其运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．