Question

12．如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠BAD=60°，O为AC的中点，点P为平面ABCD外一点，且平面PAC⊥平面ABCD，PO=1，PA=2．
（1）求证：PO⊥平面ABCD；
（2）求直线PA与平面PBC所成角的正弦值．

Answer 1

分析 （1）推导出AO⊥PO，由此能证明PO⊥平面ABCD．
（2）以O为原点，OB，OC，OP分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线PA与平面PBC所成角的正弦值．

解答 证明：（1）在边长为2的菱形ABCD中，∠BAD=60°，AO=$\sqrt{3}$，
又∵PO=1，PA=2，∴PO²+AO²=PA²，
∴AO⊥PO，
∵平面PAC⊥平面ABCD，平面PAC∩平面ABCD=AC，
PO?平面PAC，
∴PO⊥平面ABCD．
解：（2）以O为原点，OB，OC，OP分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，
则A（0，-$\sqrt{3}$，0），B（1，0，0），C（0，$\sqrt{3}$，0），P（0，0，1），
$\overrightarrow{PB}$=（1，0，-1），$\overrightarrow{BC}$=（-1，$\sqrt{3}$，0），$\overrightarrow{AP}$=（0，$\sqrt{3}$，1），
设平面PBC的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{PB}=x-z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{BC}=-x+\sqrt{3}y=0}\end{array}\right.$，取x=$\sqrt{3}$，得$\overrightarrow{n}$=（$\sqrt{3}，1，\sqrt{3}$），
设直线PA与平面PBC所成角为θ，
则sinθ=$\frac{|\overrightarrow{PA}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{PA}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{7}•2}$=$\frac{\sqrt{21}}{7}$．
∴直线PA与平面PBC所成角的正弦值为$\frac{\sqrt{21}}{7}$．

点评 本题考查线面垂直的判定与性质，考查利用二面角的正弦值的求法；考查逻辑推理与空间想象能力，运算求解能力；考查数形结合、化归转化思想．