Question

19．已知偶函数f（x）的定义域为R，且f（1+x）=f（1-x），当0≤x≤1时，f（x）=3^x-1；若关于x的方程$f（x）-{log_m}\frac{1}{x+2}=0$在x∈[0，5]上有4个不相等的实数根，则实数m的取值范围是（　　）

• A． $（0\;，\;\frac{{\sqrt{7}}}{7}）$
• B． $（\frac{{\sqrt{7}}}{7}\;，\;1）$
• C． $（\frac{{\sqrt{5}}}{5}\;，\;1）$
• D． $（\frac{{\sqrt{7}}}{7}\;，\;\frac{{\sqrt{5}}}{5}）$

Answer 1

分析 由已知的偶函数f（x）的定义域为R，且f（1+x）=f（1-x），得到函数的对称轴为x=1并且周期为2，在同一个坐标系中画出f（x）以及y=$lo{g}_{m}\frac{1}{x+2}$的图象，由在x∈[0，5]上有4个不相等的实数根得到函数图象交点为4个的时候对应的m 的范围．

解答 解：因为偶函数f（x）的定义域为R，且f（1+x）=f（1-x），所以f（1+x）=f（x-1），得到函数的正确为2，且关于x=n，n∈N对称，函数f（x）以及y=log${\;}_{m}\frac{1}{x+2}$=-log_m（x+2）的图象如图，要使关于x的方程$f（x）-{log_m}\frac{1}{x+2}=0$在x∈[0，5]上有4个不相等的实数根，只要$\left\{\begin{array}{l}{0＜m＜1}\\{-lo{g}_{m}（5+2）＞{3}^{5-4}-1}\\{-lo{g}_{m}（3+2）＜{3}^{3-2}-1}\end{array}\right.$
解得$\frac{\sqrt{7}}{7}＜m＜\frac{\sqrt{5}}{5}$；
即实数m的取值范围是（$\frac{\sqrt{7}}{7}，\frac{\sqrt{5}}{5}$）；
故选：D．

点评 本题考查了利用函数图象的交点求方程根的个数问题；正确画图并且识图是关键．