Question

4．已知等差数列{a_n}的前n项和为S_n，且a₁=1，S₃+S₄=S₅．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）令b_n=（-1）^n-1a_na_n+1，求数列{b_n}的前2n项和T_2n．

Answer 1

分析 （Ⅰ）设等差数列{a_n}的公差为d，根据题意、等差数列的性质以及通项公式列出方程，求出公差d，由等差数列的通项公式求出a_n；
（Ⅱ）由（I）化简b_n=（-1）^n-1a_na_n+1，利用并项求和法和等差数列的前n项和公式求出数列{b_n}的前2n项和T_2n．

解答 解：（Ⅰ）设等差数列{a_n}的公差为d，
由S₃+S₄=S₅可得a₁+a₂+a₃=a₅，-------（2分）
即3a₂=a₅，则3（1+d）=1+4d，解得d=2-----（4分）
所以a_n=1+（n-1）×2=2n-1．------------（6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得：
${b_n}={（-1）^{n-1}}•（2n-1）（2n+1）={（-1）^{n-1}}•（4{n^2}-1）$------（7分）
所以${T_{2n}}=（4×{1^2}-1）-（4×{2^2}-1）+（4×{3^2}-1）-（4×{4^2}-1）+…+{（-1）^{2n-1}}•[{4×{{（2n）}^2}-1}]$
=4[1²-2²+3²-4²+…+（2n-1）²-（2n）²]------------（9分）
=-4（1+2+3+4+…+2n-1+2n）
=$-4×\frac{2n（2n+1）}{2}=-8{n}^{2}-4n$------（12分）

点评 本题考查等差数列的性质、通项公式以及前n项和公式，以及并项求和法求数列的和，考查化简、变形能力．