Question

3．设f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{（x-a）^2}，x≤0\\ x+\frac{1}{x}+a+4，x＞0\end{array}$，若f（0）是f（x）的最小值，则a的取值范围为（　　）

• A． [-2，3]
• B． [-2，0]
• C． [1，3]
• D． [0，3]

Answer 1

分析 由分段函数可得当x=0时，f（0）=a²，由于f（0）是f（x）的最小值，则（-∞，0]为减区间，即有a≥0，则有a²≤x+$\frac{1}{x}$+a+4，x＞0恒成立，运用基本不等式，即可得到右边的最小值2+a，解不等式a²≤2+a，即可得到a的取值范围

解答 解：由于f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{（x-a）^2}，x≤0\\ x+\frac{1}{x}+a+4，x＞0\end{array}$，
则当x=0时，f（0）=a²，
由于f（0）是f（x）的最小值，
则（-∞，0]为减区间，即有a≥0，
则有a²≤x+$\frac{1}{x}$+a+4，x＞0恒成立，
由x+$\frac{1}{x}$≥2$\sqrt{x•\frac{1}{x}}$=2，当且仅当x=1取最小值2，
则a²≤6+a，解得-2≤a≤3．
综上，a的取值范围为[0，3]．
故选：D．

点评 本题考查分段函数的应用：求最值，考查函数的单调性及运用，同时考查基本不等式的应用，是一道中档题，也是易错题．