Question

【题目】如图，在多面体中，为菱形，，平面，平面，为的中点，若平面.

（1）求证：平面；

（2）若，求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】解:(Ⅰ)取AB的中点M，连结GM,MC，G为BF的中点,

所以GM //FA,又EC面ABCD, FA面ABCD,

∵CE//AF,

∴CE//GM,………………2分

∵面CEGM面ABCD=CM,

EG// 面ABCD,

∴EG//CM,………………4分

∵在正三角形ABC中，CMAB,又AFCM

∴EGAB, EGAF,

∴EG面ABF.…………………6分

（Ⅱ）建立如图所示的坐标系,

设AB=2,

则B（）E(0,1,1) F（0，-1，2）

=(0，-2,1) ,=(,-1，-1),=(,1， 1),………………8分

设平面BEF的法向量=（）则

令，则,

∴=（）…………………10分

同理，可求平面DEF的法向量=（-）

设所求二面角的平面角为，则

=.…………………12分

【解析】

试题（Ⅰ） 取AB的中点M，连结GM,MC，要证EG面ABF，只要证CE//GM且CM面ABF即可．

（Ⅱ）利用ABCD为菱形，其对角线互相垂直平分这个特点建立空间直角坐标系如下图所示，求出平面与平面的法向量，利用向量的夹角公式求出二面角B-EF-D 的余弦值．

试题解析：（本小题满分12分）

解:（Ⅰ）取AB的中点M，连结GM,MC，G为BF的中点,

所以GM //FA,又EC面ABCD, FA面ABCD,

∵CE//AF,

∴CE//GM, 2分

∵面CEGM面ABCD=CM,

EG// 面ABCD,

∴EG//CM, 4分

∵在正三角形ABC中，CMAB,又AFCM

∴EGAB, EGAF,

∴EG面ABF． 6分

（Ⅱ）建立如图所示的坐标系,设AB=2,

则B（）E（0,1,1） F（0，-1，2）

=（0，-2,1） ,=（,-1，-1）,

=（,1， 1）, 8分

设平面BEF的法向量=（）则

令，则,

∴=（） 10分 同理，可求平面DEF的法向量=（-）

设所求二面角的平面角为，则=． 12分