Question

如下图，为处理含有某种杂质的污水，要制造一底宽为2 m的无盖长方体沉淀箱，污水从A孔流入，经沉淀后从B孔流出，设箱体的长度为a m，高度为b m.已知流出的水中该杂质的质量分数与a、b的乘积成反比.现有制箱材料60 m²，问当a、b各为多少米时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小（A、B孔的面积忽略不计）？

Answer 1

解法一：设y为流出的水中杂质的质量分数，则y=，其中k＞0为比例系数.

依题意，即所求的a、b值使y值最小.

根据题设，有4b+2ab+2a=60（a＞0，b＞0），得b=（0＜a＜30），于是y==.令y′==0，得a=6或a=－10（舍去）.

由于本题只有一个极值点，故当a=6此时b=3为所求，即当a为6 m，b为3 m时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小.

解法二：依题意，即所求的a、b值使ab最大.由题设知4b+2ab+2a=60（a＞0，b＞0），即a+2b+ab=30（a＞0，b＞0）.∵a+2b≥，∴2+ab≤30.当且仅当a=2b时上式取等号.由a＞0，b＞0，解得0＜ab≤18，即当a=2b时，ab取得最大值，其最大值为18.由2b²=18，解得b=3，此时a=6.

故当a为6 m，b为3 m时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小.