Question

如图，三棱柱ABC－A1B1C1的侧棱AA1⊥底面ABC，∠ACB＝90°，E是棱CC1的中点，F是AB的中点，AC＝BC＝1，AA1＝2.

(1)求证：CF∥平面AB1E；

(2)求三棱锥C－AB1E在底面AB1E上的高．

 

Answer 1

（1）见解析（2）

【解析】(1)证明：取AB1的中点G，连接EG，FG，

∵F、G分别是AB、AB1的中点，

∴FG∥BB1，FG＝BB1.

∵E为侧棱CC1的中点，

∴FG∥EC，FG＝EC，

∴四边形FGEC是平行四边形，

∴CF∥EG，∵CF?平面AB1E，EG?平面AB1E，

∴CF∥平面AB1E.

(2)∵三棱柱ABC－A1B1C1的侧棱AA1⊥底面ABC，

∴BB1⊥平面ABC.

又AC?平面ABC，∴AC⊥BB1，∵∠ACB＝90°，∴AC⊥BC，

∵BB1∩BC＝B，∴AC⊥平面EB1C，∴AC⊥CB1，

∴VA－EB1C＝ S△EB1C·AC

＝××1＝.

∵AE＝EB1＝，AB1＝，∴S△AB1E＝，

∵VC－AB1E＝VA－EB1C，∴三棱锥C－AB1E在底面AB1E上的高为.