Question

已知函数f（x）为偶函数且f（x）=f（x-4），又f（x）=

-x2- 3 2 x+5，0≤x≤1 2x+2-x，1＜x≤2

，函数g（x）=（

1

2

）^|x|+a，若F（x）=f（x）-g（x）恰好有2个零点，则a=

 

．

Answer 1

考点：函数零点的判定定理,函数奇偶性的性质

专题：函数的性质及应用

分析：由题意可知f（x）是周期为4的偶函数，对称轴为直线x=2．若F（x）恰有2个零点，有g（1）=f（1），解得a=2．

解答： 解：∵函数f（x）为偶函数，
∴f（-x）=f（x）
∵f（x）=f（x-4），
∴把2-x代入得出f（2-x）=f（-2-x）=f（2+x）
即f（2+x）=f（2-x），对称轴为x=2
∵f（x）=f（x-4），
∴f（x+4）=f（x）
可知f（x）是周期为4的偶函数，对称轴为直线x=2n，n∈N．



g（x）=（

1

2

）^|x|+a，
g（x）的最大值为a+1，在（0，+∞）上单调递减，在（-∞，0）单调递增，
∵F（x）=f（x）-g（x）恰好有2个零点，
∴有g（1）=f（1），

1

2

+a=-1-

3

2

+5，
即解得a=2．
故答案为：2

点评：本题主要考查数形结合以及函数的零点与交点的相关问题，需要学生对图象进行理解，对学生的能力提出很高要求，属于难题．