Question

在直角坐标平面内，以坐标原点O为极点，x轴的非负数半轴为极轴建立极坐标系．已知曲线C的极坐标方程为ρ=4cosθ，直线l的参数方程为

x=1+ 1 2 t y=-3 3 + 3 2 t

（t为参数），直线l与曲线C相交于A，B两点．
（Ⅰ）求曲线C的直角坐标方程；
（Ⅱ）在直角坐标系中，求线段AB的中点坐标．

Answer 1

考点：直线的参数方程,简单曲线的极坐标方程

专题：综合题,直线与圆

分析：（Ⅰ）利用极坐标与直角坐标的互化公式，可求曲线C的直角坐标方程；
（Ⅱ）直线l的参数方程化为直角坐标方程，求出过圆心C（2，0）与直线l垂直的直线l′：x+

3

y-2=0，与

3

x-y-4

3

=0联立，解方程组得AB中点的坐标．

解答： 解：（Ⅰ）曲线ρ=4cosθ对应的普通方程为x²+y²=4x，即（x-2）²+y²=4；
（Ⅱ）直线l的参数方程为

x=1+ 1 2 t y=-3 3 + 3 2 t

（t为参数），
直角坐标方程为

3

x-y-4

3

=0，
圆心C（2，0）到直线l的距离d=

|2 3 -4 3 |

1+3

=

3

＜2，
∴直线l与C相交，
过圆心C（2，0）与直线l垂直的直线l′：x+

3

y-2=0，
与

3

x-y-4

3

=0联立，解方程组得AB中点的坐标为（

7

2

，-

3

2

）．

点评：本题主要考查直线的参数方程和圆的极坐标方程．熟练掌握极坐标与直角坐标的互化公式是解题的关键．