Question

已知：两圆C₁：x²+y²+4x-6y+12=0，C₂：x²+y²-2x-14y+k=0．
（1）实数k为何值时，两圆相交；
（2）实数k为何值时，两圆相切；
（3）实数k为何值时，两圆相离．

Answer 1

考点：圆与圆的位置关系及其判定

专题：计算题,直线与圆

分析：（1）将两圆化成标准方程，算出圆心坐标和它们的半径．根据两圆相交的性质，建立关于a的不等式，解之即可得出满足条件的实数a的取值范围；
（2）根据两圆相切的性质，利用两点间的距离公式建立关于a的等式，即可解出满足条件的实数a的值；
（3）根据两圆相离的性质，建立关于a的不等式，解之即可得出满足条件的实数a的取值范围

解答： 解：圆C₁：x²+y²+4x-6y+12=0，可化为（x+2）²+（y-3）²=1，圆心为（-2，3），半径为1；C₂：x²+y²-2x-14y+k=0，可化为（x-1）²+（y-7）²=50-k，圆心为（1，7），半径为

50-k

．
（1）|

50-k

-1|＜

32+42

＜

50-k

+1，∴14＜k＜34；
（2）|

50-k

-1|=

32+42

或

50-k

+1=5，∴k=14或34；
（3）

32+42

＞

50-k

+1，∴k=34．

点评：本题给出含有参数的圆方程，在满足特殊位置关系情况下求参数的值或范围．着重考查了圆的方程、两圆位置关系和两点间的距离公式等知识，属于中档题．