Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，a₁=1，a_n≠0，a_na_n+1=4S_n-1
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设b_n=

1

anan+1

，求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

考点：数列的求和,数列递推式

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）由a_na_n+1=4S_n-1，可得当n≥2时，a_n-1a_n=4S_n-1-1，a_n≠0，两式相减化为a_n+1-a_n-1=4，可得数列{a_n}的奇数项与偶数项分别为等差数列，进而得出；
（2）b_n=

1

(2n-1)(2n+1)

=

1

2

(

1

2n-1

-

1

2n+1

)，利用“裂项求和”即可得出．

解答： 解：（1）∵a_na_n+1=4S_n-1，∴当n≥2时，a_n-1a_n=4S_n-1-1，a_na_n+1-a_n-1a_n+1=4a_n，
∵a_n≠0，∴a_n+1-a_n-1=4，
当n=1时，a₁a₂=4a₁-1，a₁=1，解得a₂=3，
∴数列{a_n}的奇数项与偶数项分别为等差数列，公差为4，首项分别为1，3．
∴当n=2k-1（k∈N^*）为奇数时，a_n=a_2k-1=1+4（k-1）=4k-3=2n-1；
当n=2k（k∈N^*）为偶数时，a_n=a_2k=3+4（k-1）=2n-1．
可得a_n=2n-1．
（2）b_n=

1

anan+1

=

1

(2n-1)(2n+1)

=

1

2

(

1

2n-1

-

1

2n+1

)，
∴数列{b_n}的前n项和T_n=

1

2

[(1-

1

3

)+(

1

3

-

1

5

)+…+(

1

2n-1

-

1

2n+1

)]
=

1

2

(1-

1

2n+1

)
=

n

2n+1

．

点评：本题考查了递推式的应用、等差数列的定义及其通项公式、“裂项求和”方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．