Question

已知函数f（x）=lnx-mx．
（Ⅰ）设函数在x=1处的切线与直线x-2y=0垂直，讨论函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）已知m≥

1

e

，且m，n∈（0，+∞），求证：（mn）^e≤e^m+n．

Answer 1

考点：导数在最大值、最小值问题中的应用,利用导数研究函数的单调性,利用导数研究曲线上某点切线方程

专题：综合题,导数的综合应用

分析：（Ⅰ）利用导数的几何意义，求得m，再利用导数判断函数的单调性，求出单调区间；
（Ⅱ）利用导数求得函数的最大值f（x）_max=f（

1

m

）=ln（

1

m

）-1≤lne-1=0，即f（x）≤0恒成立，即lnx≤mx恒成立．不妨取m=

1

e

，则有lnx≤

x

e

恒成立，即可得出证明．

解答： （Ⅰ）解：f′（x）=

1

x

-m，
∵函数在x=1处的切线与直线x-2y=0垂直，
∴函数在x=1处的切线斜率为

1

2

，
∴1-m=

1

2

，∴m=

1

2

，
∴f′（x）=

2-x

2x

，
∵函数的定义域为（0，+∞），
∴当x∈（0，2）时，f′（x）＞0，当x∈（2，+∞）时，f′（x）＜0，
∴函数的单调增区间是（0，2），单调递减区间是（2，+∞）．
（Ⅱ）证明：f′（x）=

1

x

-m=-

m(x- 1 m )

x

，
∵m＞0，∴当x∈（0，

1

m

）时，f′（x）＞0，当x∈（

1

m

，+∞）时，f′（x）＜0，
∴函数f（x）的单调增区间是（0，

1

m

），单调递减区间是（

1

m

，+∞）．
∴f（x）_max=f（

1

m

）=ln（

1

m

）-1，又∵m≥

1

e

，∴

1

m

≤e，
∴f（

1

m

）=ln（

1

m

）-1≤lne-1=0，即f（x）≤0恒成立，即lnx≤mx恒成立．
不妨取m=

1

e

，则有lnx≤

x

e

恒成立，
∵m，n∈（0，+∞），∴lnm≤

m

e

，lnn≤

n

e

，∴lnm+lnn≤

m

e

+

n

e

，
即ln（mn）^e≤m+n，∴（mn）^e≤e^m+n．

点评：本题主要考查函数的导数的几何意义，及利用导数研究函数的单调性，求函数的最值等知识，考查学生分析问题、解决问题的能力及运算求解能力，属于难题．