Question

1．设f（x）=（$\frac{a}{x}+x$）⁹（a为常数）
（1）已知（$\frac{a}{x}+x$）⁹的展开式中x³的系数为$\frac{21}{16}$，求a的值；
（2）是否存在a，使当x＞0时，f（x）≥64恒成立，若存在求出a，若不存在，说明理由．

Answer 1

分析 （1）先求出二项式展开式的通项公式，再令x的幂指数等于3，根据（$\frac{a}{x}+x$）⁹的展开式中x³的系数为$\frac{21}{16}$，求a的值；
（2）$\frac{a}{x}+x$≥$\root{3}{4}$，再结合基本不等式，即可得出结论．

解答 解：（1）根据（$\frac{a}{x}+x$）⁹的展开式的通项公式为T_r+1=${C}_{9}^{r}$•a^9-r•x^2r-9，
令2r-9=3，求得r=6，故展开式的常数项为${C}_{9}^{6}$•a³=$\frac{21}{16}$，求得a=$\frac{1}{4}$；
（2）由题意，$\frac{a}{x}+x$≥$\root{3}{4}$，
∵$\frac{a}{x}+x$≥2$\sqrt{a}$，
∴2$\sqrt{a}$=$\root{3}{4}$，
∴a=${2}^{-\frac{2}{3}}$使当x＞0时，f（x）≥64恒成立．

点评 本题主要考查二项式定理的应用，二项式系数的性质，二项式展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于中档题．