Question

9．已知函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{1-|x-1|，x＜2}\\{2f（x-2），x≥2}\end{array}\right.$，g（x）=2${\;}^{\frac{x-1}{2}}$，设方程f（x）=g（x）的根从小到大依次为x₁，x₂…x_n…，n∈N⁺，则数列{f（x_n）}的前n项和为（　　）

• A． 2ⁿ⁺¹-2
• B． 2ⁿ-1
• C． n²
• D． n²-1

Answer 1

分析 作出函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{1-|x-1|，x＜2}\\{2f（x-2），x≥2}\end{array}\right.$的图象，可得数列{f（x）}从小到大依次为1，2，4，…，组成以1为首项，2为公比的等比数列，即可求出数列{f（x）}的前n项和．

解答 解：函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{1-|x-1|，x＜2}\\{2f（x-2），x≥2}\end{array}\right.$的图象如图所示，
x=1时，f（x）=1，
x=3时，f（x）=2，
x=5时，f（x）=4，
…
所以方程f（x）=g（x）=2${\;}^{\frac{x-1}{2}}$的根从小到大依次为1，3，5，…，数列{f（x_n）}从小到大依次为1，2，4，…，组成以1为首项，2为公比的等比数列，
所以数列{f（x_n）}的前n项和为$\frac{1-{2}^{n}}{1-2}$=2ⁿ-1，
故选：B．

点评 本题考查方程根，考查数列的求和，考查学生分析解决问题的能力，正确作图，确定数列{f（x）}从小到大依次为1，2，4，…，组成以1为首项，2为公比的等比数列是关键．