Question

已知函数f（x）=

a•ex

x

（a∈R，a≠0）．
（Ⅰ）当a=1时，求曲线f（x）在点（1，f（1））处切线的方程；
（Ⅱ）求函数f（x）的单调区间；
（Ⅲ）当x∈（0，+∞）时，若f（x）≥1恒成立，求a的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数研究曲线上某点切线方程,利用导数研究函数的单调性,利用导数研究函数的极值

专题：导数的综合应用

分析：（Ⅰ）求出原函数的导函数，代入a=1，求得f'（1），再求出f（1）的值，利用直线方程的点斜式求曲线
f（x）在点（1，f（1））处切线的方程；
（Ⅱ）由（Ⅰ）中求出的f′（x），然后对a进行分类讨论，根据a＞0和a＜0分别求出函数的增区间和减区间；
（Ⅲ）当x∈（0，+∞）时，f（x）≥1恒成立，等价于a≥

x

ex

在x∈（0，+∞）时恒成立．构造辅助函数
g(x)=

x

ex

，由导数求出函数g（x）的最大值，则a的取值范围可求．

解答： 解：（Ⅰ）由f（x）=

a•ex

x

，得：
f′(x)=

ax•ex-aex

x2

=

aex(x-1)

x2

，x≠0．
当a=1时，f′(x)=

ex(x-1)

x2

．
依题意f'（1）=0，即在x=1处切线的斜率为0．
把x=1代入f(x)=

ex

x

中，得f（1）=e．
则曲线f（x）在x=1处切线的方程为y=e．

（Ⅱ）函数f（x）的定义域为{x|x≠0}．
由于f′(x)=

ax•ex-aex

x2

=

aex(x-1)

x2

．
①若a＞0，
当x＞1时，f′（x）＞0，函数f（x）为增函数；
当x＜0和0＜x＜1时，f′（x）＜0，函数f（x）为减函数．
②若a＜0，
当x＜0和0＜x＜1时，f′（x）＞0，函数f（x）为增函数；
当x＞1时，f′（x）＜0，函数f（x）为减函数．
综上所述，a＞0时，函数f（x）的单调增区间为（1，+∞）；单调减区间为（-∞，0），（0，1）．
a＜0时，函数f（x）的单调增区间为（-∞，0），（0，1）；单调减区间为（1，+∞）．

（Ⅲ）当x∈（0，+∞）时，要使f（x）=

a•ex

x

≥1恒成立，
即使a≥

x

ex

在x∈（0，+∞）时恒成立．
设g(x)=

x

ex

，则g′(x)=

1-x

ex

．
可知在0＜x＜1时，g′（x）＞0，g（x）为增函数；
x＞1时，g′（x）＜0，g（x）为减函数．
则g(x)max=g(1)=

1

e

．
从而a≥

1

e

．

点评：本题考查了利用导数研究曲线上某点处的切线方程，考查了利用导数研究函数的单调性，训练了利用分离变量法求参数的取值范围，构造函数并用导数求其最值是解答（Ⅲ）的关键，是压轴题．