Question

在数列{a_n}中，已知a₁=1，a₂=3，设S_n为数列{a_n}的前n项和，对于任意的n≥2，n∈N，S_n+1+S_n-1=2（S_n+1）都成立．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设T_n为数列{

1

anan+1

}的前n项和，若T_n≤λa_n+1对n∈N^*恒成立，求实数λ的取值范围．

Answer 1

考点：数列的求和,等差数列的性质

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）将已知式子进行变形，得一等差数列，对前两项进行检验，确定数列的通项公式，
（2）利用裂项相消法求出T_n，再利用单调性求出函数的最值，求出λ的取值范围．

解答： 解：（1）由S_n+1+S_n-1=2（S_n+1）变形得，S_n+1-S_n=S_n-S_n-1+2，
∴a_n+1=a_n+2，可知数列{a_n}是从第二项起的等差数列，
又a₂-a₁=2，所以a_n=a₁+（n-1）×2=2n-1，即数列{a_n}的通项公式为：a_n=2n-1；
（2）由（1）得，

1

anan+1

=

1

(2n-1)(2n+1)

=

1

2

(

1

2n-1

-

1

2n+1

)，
∴Tn=

1

2

[(

1

1

-

1

3

)+(

1

3

-

1

5

)+(

1

5

-

1

7

)+…+(

1

2n-1

-

1

2n+1

)]=

n

2n+1

，
又∵a_n+1=2n+1＞0，∴Tn≤λan+1?λ≥

Tn

an+1

恒成立?λ≥(

Tn

an+1

)max
又

Tn

an+1

=

n

(2n+1)2

=

n

4n2+4n+1

=

1

4n+ 1 n +4

，
∵y=4n+

1

n

+4在[1，+∞）上单调递增，
∴n=1时，ymin=9，(

Tn

an+1

)max=

1

9

所以λ≥

1

9

．

点评：考查等差数列的通项公式，裂项相消法求和，利用函数的最值解决恒成立问题．这些都是常考的考点，属于中档题．