Question

已知函数f（x）=e^x-1-x．
（Ⅰ）求f（x）的最小值；
（Ⅱ）设g（x）=ax²，a∈R．
（ⅰ）证明：当a=

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时，y=f（x）的图象与y=g（x）的图象有唯一的公共点；
（ⅱ）若当x＞0时，y=f（x）的图象恒在y=g（x）的图象的上方，求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数求闭区间上函数的最值,利用导数研究函数的单调性,利用导数研究函数的极值

专题：导数的综合应用

分析：（Ⅰ）求最值就是先求导，然后判断单调性，继而求得最小值．
（Ⅱ）（ⅰ）公共点的个数等于h（x）=e^x-1-x-

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x²零点的个数．
（ⅱ）y=f（x）的图象恒在y=g（x）的图象的上方，令h（x）=f（x）-g（x）即h（x）=e^x-1-x-ax²＞0恒成立．再求参数的取值范围．

解答： 解：（Ⅰ）求导数，得f′（x）=e^x-1．
令f′（x）=0，解得x=0．
当x＜0时，f′（x）＜0，∴f（x）在（-∞，0）上是减函数；
当x＞0时，f′（x）＞0，∴f（x）在（0，+∞）上是增函数．
故f（x）在x=0处取得最小值f（0）=0．
（Ⅱ）设h（x）=f（x）-g（x）=e^x-1-x-ax²，则h′（x）=e^x-1-2ax．
（ⅰ）当a=

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时，y=e^x-1-x的图象与y=ax²的图象公共点的个数等于h（x）=e^x-1-x-

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x²零点的个数．
∵h（0）=1-1=0，
∴h（x）存在零点x=0．
由（Ⅰ），知e^x≥1+x，
∴h′（x）=e^x-1-x≥0，
∴h（x）在R上是增函数，
∴h（x）在R上有唯一的零点．
故当a=

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时，y=f（x）的图象与y=g（x）的图象有唯一的公共点．
（ⅱ）当x＞0时，y=f（x）的图象恒在y=g（x）的图象的上方
?当x＞0时，f（x）＞g（x），即h（x）=e^x-1-x-ax²＞0恒成立．
由（Ⅰ），知e^x≥1+x（当且仅当x=0时等号成立），
故当x＞0时，e^x＞1+x．
h′（x）=e^x-1-2ax＞1+x-1-2ax=（1-2a）x，
从而当1-2a≥0，即a≤

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时，h′（x）≥0（x＞0），
∴h（x）在（0，+∞）上是增函数，又h（0）=0，
于是当x＞0时，h（x）＞0．
由e^x＞1+x（x≠0），可得e^-x＞1-x（x≠0），
从而当a＞

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时，h′（x）=e^x-1-2ax＜e^x-1+2a（e^-x-1）=e^-x（e^x-1）（e^x-2a），
故当x∈（0，ln2a）时，h′（x）＜0，
此时h（x）在（0，ln2a）上是减函数，又h（0）=0，
于是当x∈（0，ln2a）时，h（x）＜0．
综上可知，实数a的取值范围为（-∞，

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]．

点评：本题主要考查了导数与函数的最值关系，以及函数的零点的存在性问题和参数的取值范围，属于中档题．