Question

（理）定义区间（c，d），[c，d），（c，d]，[c，d]的长度均为d-c，其中d＞c．
（1）已知函数y=|2^x-1|的定义域为[a，b]，值域为[0，

1

2

]，写出区间[a，b]长度的最大值与最小值．
（2）已知函数f_M（x）的定义域为实数集D=[-2，2]，满足f_M（x）=

x，x∈M -x，x∈M

（M是D的非空真子集）．集合A=[1，2]，B=[-2，-1]，求F（x）=

fA∪B(x)

fA(x)+fB(x)+3

的值域所在区间长度的总和．
（3）定义函数f（x）=

1

x-1

+

2

x-2

+

3

x-3

+

4

x-4

-1，判断函数f（x）在区间（2，3）上是否有零点，并求不等式f（x）＞0解集区间的长度总和．

Answer 1

考点：函数零点的判定定理,分段函数的应用

专题：函数的性质及应用

分析：（1）利用数形结合求出即可；（2）中求出两区间长度作和即可；（3）找出①②③三个关系式，比较得出结论．

解答： 解：（1）|2x-1|=

1

2

，
解得x=-1或x=log2

3

2

，
|2^x-1|=0，解得x=0，
画图可得：区间[a，b]长度的最大值为log₂3，

最小值为log2

3

2

．
（2）F(x)=

x 3 ，x∈A∪B x 2x-3 ，x∈(-1，1)

当x∈A∪B，F(x)∈[-

2

3

，-

1

3

]∪[

1

3

，

2

3

]，
当x∈（-1，1），F(x)∈(-1，

1

5

)，
所以x∈[-2，2]时，F(x)∈(-1，

1

5

)∪[

1

3

，

2

3

]
所以值域区间长度总和为

23

15

．
（3）由于当2＜x＜3时，取x=2.001，f（2.001）＞0，
取x=2.999，f（2.999）＜0，
所以方程f（x）=0在区间（2，3）内有一个解
考虑函数f(x)=

1

x-1

+

2

x-2

+

3

x-3

+

4

x-4

-2，
由于当x＜1时，f（x）＜0，
故在区间（-∞，1）内，不存在使f（x）＞0的实数x；
对于集合{1，2，3，4}中的任一个k，由于当k-1＜x＜k时，
取x=k+0.001，f（x）＞0，取x=k+1-0.001，f（x）＜0
又因为函数y=f（x）在区间（1，2），（2，3），（3，4），（4，+∞）内单调递减，
所以方程f（x）=0在区间（1，2），（2，3），（3，4），（4，+∞）内各有一个解；
依次记这4个解为x₁，x₂，x₃，x₄，
从而不等式f（x）＞0的解集是E=（1，x₁）∪（2，x₂）∪（3，x₃）∪（4，x₄），
故得所有区间长度的总和为S=（x₁-1）+（x₂-2）+（x₃-3）+（x₄-4）=x₁+x₂+x₃+x₄-10…①
对f（x）＞0进行通分处理，分子记为p（x）

p(x)=(x-2)(x-3)(x-4)+2(x-1)(x-3)(x-4)+3(x-1)(x-2)(x-4)+4(x-1)(x-2)(x-3) -2(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)

如将p（x）展开，其最高项系数为-2，设p(x)=-2x4+a3x3+a2x2+a1x+a0…②
又有p（x）=-2（x-x₁）（x-x₂）（x-x₃）（x-x₄）…③
对比②③中p（x）的x³系数，2（x₁+x₂+x₃+x₄）=1+2+3+4+2（1+2+3+4）=30
可得：S=x₁+x₂+x₃+x₄-10=5．

点评：本题属于函数零点的判定定理的应用问题，本题考查数形结合的思想，是同类问题求解中难度较大的题型