Question

求函数y=（

1

2

） x2-6x+17的定义域、值域、单调区间．

Answer 1

考点：指数型复合函数的性质及应用

专题：函数的性质及应用

分析：根据指数函数的图象和性质，结合复合函数单调性之间的关系即可得到结论．

解答： 解：设t=x²-6x+17，
则t=（x-3）²+8，则函数y=f（x）等价为y=（

1

2

）^t，
则函数y=f（x）的定义域为R，
∵y=（

1

2

）^t，在定义域上为减函数，当x＞3时，函数t=（x-3）²+8，单调递增，
此时函数y=（

1

2

） x2-6x+17为减函数，
当x＜3时，函数t=（x-3）²+8，单调递减，此时函数y=（

1

2

） x2-6x+17为增函数，
故函数的减区间为（3，+∞），增区间为（-∞，3），
∵t=（x-3）²+8≥8，
∴y=（

1

2

）^t≤（

1

2

）⁸=2^-8=

1

256

，
∵y=（

1

2

）^t＞0
即函数的值域为（0，

1

256

]

点评：本题主要考查与指数函数有关的性质，利用换元法结合复合函数之间的关系是解决本题的关键．