Question

已知函数f（x）=（

1

3

） ax2-4x+3，若a=-1，求f（x）的定义域、单调区间，以及函数的值域．

Answer 1

考点：指数型复合函数的性质及应用

专题：函数的性质及应用

分析：根据指数函数的图象和性质，结合复合函数单调性之间的关系即可得到结论．

解答： 解：当a=-1时，f（x）=（

1

3

） ax2-4x+3=(

1

3

)-x2-4x+4=3x2+4x-4，
设t=x²+4x-4，
则t=（x+2）²-8，则函数y=f（x）=3x2+4x-4，转化为y=3^t，
则函数f（x）的定义域为R，
∵y=3^t，在定义域上为增函数，当x＞-2时，函数t=（x+2）²-8，单调递增，此时函数f（x）=3x2+4x-4，为增函数，
当x＜-2时，函数t=（x+2）²-8，单调递减，此时函数f（x）=3x2+4x-4，为减函数，
故函数的增区间为（-2，+∞），减区间为（-∞，-2），
∵t=（x+2）²-8≥-8，
∴y=3^t≥y=3^-8=

1

6561

，
即函数的值域为[

1

6561

，+∞）

点评：本题主要考查与指数函数有关的性质，利用换元法结合复合函数之间的关系是解决本题的关键．