Question

设不等式|x-2|+|3-x|＜a（a∈N^*）的解集为A，且2∈A，

3

2

∉A．
（Ⅰ）求a的值；
（Ⅱ）求函数f（x）=|x+a|+|x-2|的最小值．

Answer 1

考点：绝对值不等式的解法

专题：不等式的解法及应用

分析：（Ⅰ）依题意可得1＜a≤2，又a∈N^*，于是可得a的值；
（Ⅱ）利用绝对值不等式的几何意义可得f（x）=|x+a|+|x-2|≥|（x+2）-（x-2）|=4，从而可得答案．

解答： 解：（Ⅰ）∵不等式|x-2|+|3-x|＜a（a∈N^*）的解集为A，且2∈A，

3

2

∉A，
所以

|2-2|+|3-2|＜a | 3 2 -2|+|3- 3 2 |≥a

，即

a＞1 a≤2

，
所以1＜a≤2，因为a∈N^*，
所以a=2…5分
（Ⅱ）因为a=2，
所以f（x）=|x+a|+|x-2|=|x+2|+|x-2|，
又|x-2|+|3-x|≥|（x+2）-（x-2）|=4，
所以f（x）=|x+2|+|x-2|的最小值是4…10分

点评：本题考查绝对值不等式的解法，着重考查绝对值的几何意义的理解与应用，属于中档题．