Question

设f(x)＝ln x＋ax(a∈R且a≠0)．

(1)讨论函数f(x)的单调性；

(2)若a＝1，证明：x∈[1，2]时，f(x)－3<成立．

Answer 1

【解】(1)函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝＋a，

当a>0时，f′(x)>0，∴函数f(x)在(0，＋∞)上是增函数．

当a<0时，f′(x)＝，

由f′(x)>0得0<x<－；由f′(x)<0得，x>－.

∴函数f(x)在(0，－)上是增函数；在(－，＋∞)上是减函数．

(2)证明：当a＝1时，f(x)＝ln x＋x，

要证x∈[1，2]时，f(x)－3<成立，

只需证xln x＋x²－3x－1<0在x∈[1，2]时恒成立．

令g(x)＝xln x＋x²－3x－1，则g′(x)＝ln x＋2x－2，

设h(x)＝ln x＋2x－2，则h′(x)＝＋2>0，∴h(x)在[1，2]上单调递增，

∴g′(1)≤g′(x)≤g′(2)，

即0≤g′(x)≤ln 2＋2，∴g(x)在[1，2]上单调递增，∴g(x)≤g(2)＝2ln 2－3<0，

∴当x∈[1，2]时，xln x＋x²－3x－1<0恒成立，即原命题得证．