Question

（2006•重庆二模）设函数f（x）的定义域为R．若存在与x无关的正常数M，使|f（x）|≤M|x|对一切实数x均成立，则称f（x）为有界泛函．在函数：
①f（x）=-3x，
②f（x）=x²，
③f（x）=sin²x，
④f（x）=2^x，
⑤f（x）=xcosx
中，属于有界泛函的有

①③⑤

．（填上所有正确的番号）

Answer 1

分析：利用“f（x）为有界泛函”的定义找到符合条件的M即可．

解答：解：①∵|f（x）|=3|x|，要使3|x|≤M|x|对于任意实数x都成立，只要M≥3即可，因此f（x）为有界泛函．
②∵|f（x）|=x²，要使|f（x）|≤M|x|对一切实数x均成立，即x²≤M|x|，当x≠0时，即|x|≤M，因此不存在与x无关的正常数M，使|f（x）|≤M|x|对一切实数x均成立，因此f（x）不为有界泛函；
③∵|f（x）|=sin²x≤|sinx|≤|x|，要使|x|≤M|x|对一切实数x均成立，只要M≥1即可，因此f（x）为有界泛函．
④∵|f（x）|=2^x，当x=0时，|f（0）|=1＞M•0=0，因此不存在与x无关的正常数M，使|f（x）|≤M|x|对一切实数x均成立，因此f（x）不为有界泛函；
⑤∵|f（x）|=|xcosx|≤|x|，∴要使|x|≤M|x|对于任意实数x都成立，只要M≥1即可，因此f（x）为有界泛函．

点评：正确理解“f（x）为有界泛函”的定义、不等式的性质是解题的关键．