Question

【题目】在如图所示的几何体中，D是AC的中点，EF∥DB．
（1）已知AB=BC，AF=CF，求证：AC⊥平面BEF；
（2）已知G、H分别是EC和FB的中点，求证：GH∥平面ABC．

Answer 1

【答案】
（1）证明：∵EF∥DB，∴EF与DB确定平面BDEF．

如图①，连结DF．∵AF=CF，D是AC的中点，∴DF⊥AC．同理可得BD⊥AC．

又BD∩DF=D，BD、DF平面BDEF，∴AC⊥平面BDEF，即AC⊥平面BEF．

（2）证明：如图②，设FC的中点为I，连接GI，HI．

在△CEF中，∵G分别是EC的中点，∴GI∥EF．

又EF∥DB，∴GI∥DB．

在△CFB中，∵H分别是FB的中点，∴HI∥BC．

又HI∩GI=I，∴平面GHI∥平面ABC．

∵GH平面GHI，∴GH∥平面ABC．

【解析】（1）如图连结DF，证明DF⊥AC，BD⊥AC．推出AC⊥平面BDEF，即可证明AC⊥平面BEF．（2）设FC的中点为I，连接GI，HI．证明GI∥EF．GI∥DB．证明HI∥BC．即可证明GHI∥平面ABC．然后证明GH∥平面ABC．
【考点精析】解答此题的关键在于理解直线与平面平行的判定的相关知识，掌握平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行；简记为：线线平行，则线面平行，以及对直线与平面垂直的判定的理解，了解一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直；注意点：a)定理中的“两条相交直线”这一条件不可忽视；b)定理体现了“直线与平面垂直”与“直线与直线垂直”互相转化的数学思想．