Question

【题目】设函数f（x）=x3﹣12x+4，x∈R．
（1）求f（x）的单调区间和极值；
（2）若关于x的方程f（x）=a有3个不同实根，求实数a的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵f（x）=x3﹣12x+4，

∴f′（x）=3x2﹣12=3（x+2）（x﹣2）

令f′（x）=0得：x1=﹣2，x2=2

当x变化时，f'（x），f（x）的变化情况如下表：

x	（﹣∞，﹣2）	﹣2	（﹣2，2）	2	（2，+∞）
f'（x）	+	0	﹣	0	+
f（x）	增	极大	减	极小	增

所以f（x）的增区间是（﹣∞，﹣2）和（2，+∞），减区间是（﹣2，2）；

当x=﹣2时，f（x）取得极大值，极大值f（﹣2）=20；

当x=2时，f（x）取得极小值，极小值f（2）=﹣12

（2）解：由（1）可知y=f（x）图象的大致形状及走向：

∴当﹣12＜a＜20时，直线y=a与y=f（x）的图象有3个不同交点，

即当﹣12＜a＜20时方程f（x）=a有三解

【解析】（1）求出函数的导函数，进而分析导函数在不同区间上的符号，进而根据导函数为正，对应函数的单调递增区间；导函数为负，对应函数的单调递减区间，得到f（x）的单调区间；再由左增右减对应函数的极大值，左减右增，对应函数的极小值，得到f（x）的极值；（2）由（1）作出函数f（x）的草图，进而得到方程f（x）=a有3个不同实根，可转化为a值，介于函数的两极值之间，进而得到实数a的取值范围．
【考点精析】关于本题考查的利用导数研究函数的单调性和函数的极值与导数，需要了解一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间内，(1)如果，那么函数在这个区间单调递增；(2)如果，那么函数在这个区间单调递减；求函数的极值的方法是:（1）如果在附近的左侧,右侧,那么是极大值（2）如果在附近的左侧,右侧,那么是极小值才能得出正确答案．