Question

4．若x²+y²-2x-3=0，则$\frac{y-2}{x}$的取值范围是[0，$\frac{4}{3}$]，2x²+y²的取值范围是[$\frac{5}{3}$，7]．

Answer 1

分析 （法一）：设k=$\frac{y-2}{x}$，则y=kx+2，代入x²+y²-2x-3=0，利用△=（4k-2）²-4（1+k²）=12k²-16k≥0，求出k的范围，可得$\frac{y-2}{x}$的取值范围；
（法二）：利用参数法，结合配方法，即可求出2x²+y²的取值范围．

解答 解：（法一）：设k=$\frac{y-2}{x}$，则y=kx+2，代入x²+y²-2x-3=0，
可得（1+k²）x²+（4k-2）x+1=0，
∴△=（4k-2）²-4（1+k²）=12k²-16k≥0，
∴0≤k≤$\frac{4}{3}$，
∴$\frac{y-2}{x}$的取值范围是[0，$\frac{4}{3}$]；
（法二）：x²+y²-2x-3=0可化为（x-1）²+y²=4，
设x=1+2cosα，y=sinα，
则2x²+y²=2（1+2cosα）²+（sinα）²=3（cosα+$\frac{1}{3}$）²+$\frac{5}{3}$∈[$\frac{5}{3}$，7]．
故答案为：[0，$\frac{4}{3}$]；[$\frac{5}{3}$，7]．

点评 本题考查直线与圆的位置关系的运用，考查圆的参数方程，考查学生的计算能力，属于中档题．