Question

15．数列{a_n}中，a₁=1，a_n+1=$\frac{2{a}_{n}}{{a}_{n}+2}$（n∈N₊）
（1）求a₂，a₃，a₄，a₅
（2）利用（1）的结论，猜想数列{a_n}的一个通项公式（不必证明）；
（3）利用（2）的结论，试用含有n的代数式表示a_n+1-a_n．

Answer 1

分析 （1）由已知的递推公式分别求之；
（2）观察前5项的规律，得到一个通项公式；
（3）利用（2）的结论求之．

解答 解：（1）由已知a₂=$\frac{2{a}_{1}}{{a}_{1}+2}$=$\frac{2}{3}$，a₃=$\frac{1}{2}$，a₄=$\frac{2}{5}$，a₅=$\frac{1}{3}$；
（2）利用（1）的结论，猜想数列{a_n}的一个通项公式为a_n=$\frac{2}{n+1}$；
（3）由（2）得a_n+1-a_n=$\frac{2}{n+2}-\frac{2}{n+1}$=$\frac{-2}{（n+1）（n+2）}$．

点评 本题考查了由数列的递推公式求通项公式的方法，属于基础题．