Question

6．若数列a_n=2n-1，T_n=$\frac{（1+\frac{1}{{a}_{1}}）（1+\frac{1}{{a}_{2}}）…（1+\frac{1}{{a}_{n}}）}{\sqrt{2n+1}}$（n∈N^*），则T_n最小值为$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．

Answer 1

分析 求出T₁的值，然后说明数列{T_n}是递增数列得答案．

解答 解：当n=1时，a₁=1，T₁=$\frac{1+\frac{1}{{a}_{1}}}{\sqrt{3}}=\frac{2}{\sqrt{3}}=\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
而$\frac{{T}_{n+1}}{{T}_{n}}$=$\frac{\frac{（1+\frac{1}{{a}_{1}}）（1+\frac{1}{{a}_{2}}）…（1+\frac{1}{{a}_{n+1}}）}{\sqrt{2n+3}}}{\frac{（1+\frac{1}{{a}_{1}}）（1+\frac{1}{{a}_{2}}）…（1+\frac{1}{{a}_{n}}）}{\sqrt{2n+1}}}$=$\frac{（1+\frac{1}{{a}_{n+1}}）•\sqrt{2n+1}}{\sqrt{2n+3}}$
=$\frac{（1+\frac{1}{2n+1}）•\sqrt{2n+1}}{\sqrt{2n+3}}$=$\frac{2n+2}{\sqrt{（2n+1）（2n+3）}}$=$\sqrt{\frac{4{n}^{2}+8n+4}{4{n}^{2}+8n+3}}＞1$．
∴数列{T_n}是递增数列，则T_n最小值为${T}_{1}=\frac{2\sqrt{3}}{3}$．
故答案为：$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．

点评 本题考查数列递推式，考查了数列的函数特性，是中档题．