Question

18．已知函数f（x）在区间[0，+∞）上单调递增，且对任意的实数a∈R有f（-a）+f（a）=0恒成立．
（1）判断f（x）在（-∞，0]上的单调性，并证明；
（2）求适合不等式f（2x-1）＜f（$\frac{1}{3}$）的x的取值范围．

Answer 1

分析 （1）函数f（x）在（-∞，0]上单调递增．运用单调性的定义和f（x）为奇函数的性质，即可得证；
（2）由（1）可得，f（x）在R上单调递增，不等式f（2x-1）＜f（$\frac{1}{3}$）即为2x-1＜$\frac{1}{3}$，进而得到所求范围．

解答 解：（1）函数f（x）在（-∞，0]上单调递增．
理由：设x₁，x₂∈（-∞，0]，且x₁＜x₂，
则-x₁，-x₂∈[0，+∞），且-x₁＞-x₂，
由函数f（x）在区间[0，+∞）上单调递增，
即有f（-x₁）＞f（-x₂），
又对任意的实数a∈R有f（-a）+f（a）=0恒成立，
则有f（-x₁）=-f（x₁），f（-x₂）=-f（x₂），
即有-f（x₁）＞-f（x₂），即f（x₁）＜f（x₂），
则函数f（x）在（-∞，0]上单调递增；
（2）由（1）可得，f（x）在R上单调递增，
不等式f（2x-1）＜f（$\frac{1}{3}$）即为
2x-1＜$\frac{1}{3}$，解得x＜$\frac{2}{3}$．
故所求x的范围是（-∞，$\frac{2}{3}$）．

点评 本题考查函数的单调性和奇偶性的判断和运用：解不等式，考查运算能力，属于中档题．