Question

3．在数列{a_n}中，a₁=5且a_n=2a_n-1+2ⁿ-1（n≥2且n∈N^*），求数列{a_n}的通项公式．

Answer 1

分析 把给出的等式两边同时除以2ⁿ，然后利用累加法求得数列通项公式．

解答 解：由a_n=2a_n-1+2ⁿ-1（n≥2且n∈N^*），得
$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}-\frac{{a}_{n-1}}{{2}^{n-1}}=1-\frac{1}{{2}^{n}}$（n≥2且n∈N^*），
∴$\frac{{a}_{2}}{{2}^{2}}-\frac{{a}_{1}}{{2}^{1}}=1-\frac{1}{{2}^{2}}$，
$\frac{{a}_{3}}{{2}^{3}}-\frac{{a}_{2}}{{2}^{2}}=1-\frac{1}{{2}^{3}}$，
…
$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}-\frac{{a}_{n-1}}{{2}^{n-1}}=1-\frac{1}{{2}^{n}}$．
累加得：$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}=\frac{{a}_{1}}{2}+（n-1）-（\frac{1}{{2}^{2}}+\frac{1}{{2}^{3}}+…+\frac{1}{{2}^{n}}）$
=$\frac{5}{2}+（n-1）-\frac{\frac{1}{4}（1-\frac{1}{{2}^{n-1}}）}{1-\frac{1}{2}}$=$n+1+\frac{1}{{2}^{n}}$，
∴${a}_{n}=（n+1）•{2}^{n}+1$．

点评 本题考查数列递推式，考查了累加法求数列的通项公式，是中档题．