如图.在Rt△ABC中.∠BAC=90°.作AA1⊥BC.A1A2⊥AB.A2A3⊥BC.A3A4⊥AB.A4A5⊥BC.A5A6⊥AB.A6A7⊥BC.A1.A2.A3.A4.A5.A6.A7分别为垂足:(1)△CAA1.△A1A2A3.△A3A4A5.△A5A6A7的周长和面积是否分别成等比数列?试给出证明．(2)若AB=4.BC=5.分别求出(1)题中4个三角形的周长和� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，作AA₁⊥BC，A₁A₂⊥AB，A₂A₃⊥BC，A₃A₄⊥AB，A₄A₅⊥BC，A₅A₆⊥AB，A₆A₇⊥BC，A₁，A₂，A₃，A₄，A₅，A₆，A₇分别为垂足：
（1）△CAA₁，△A₁A₂A₃，△A₃A₄A₅，△A₅A₆A₇的周长和面积是否分别成等比数列？试给出证明．
（2）若AB=4，BC=5，分别求出（1）题中4个三角形的周长和△A₁A₂A₃的面积．
（3）如果把题设中的作法一直进行下去，并把所得类同于（1）题中的4个三角形的所有三角形的面积从大到小排成一个数列{S_n}，设AB=c，AC=b，求{S_n}的通项公式和△A₁₁A₁₂A₁₃的面积．

分析：（1）要证明）△CAA₁，△A₁A₂A₃，△A₃A₄A₅，△A₅A₆A₇的周长和面积是否分别成等比数列，可以先证明它们依次两两为相似三角形，且相似比相等．（2）根据（1）的结论，结合勾股定理和射影定理依次求解；（3）根据（1）的结论，可求出数列的通项公式，再由通项公式，进行解答．

解答：解：（1）设AB=c，AC=b，BC=a
由射影定理易得：AA₁=

故：

AA1

同理可证明：

A1A2

AA1

依此类推下去，我们可以得到：

AA1

A1A2

AA1

A2A3

A1A2

=…=

AnAn+1

An-1An

则△CAA₁∽△A₁A₂A₃，△A₁A₂A₃∽△A₃A₄A₅，△A₃A₄A₅∽△A₅A₆A₇，…且相似比均为

根据相似三角形的性质，周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方，我们可得：
①△CAA₁，△A₁A₂A₃，△A₃A₄A₅，△A₅A₆A₇，…的周长成公比为

的等比数列；
②△CAA₁，△A₁A₂A₃，△A₃A₄A₅，△A₅A₆A₇，…的面积成公比为(

)2的等比数列．
（2）若AB=4，BC=5，则AC=3，则△ABC的周长为12，面积为6
此时，△CAA₁，△A₁A₂A₃，△A₃A₄A₅，△A₅A₆A₇，…的周长成公比为

的等比数列；
则：△CAA₁的周长为

，△A₁A₂A₃的周长为

192

，△A₃A₄A₅的周长为

768

125

，△A₅A₆A₇的周长为

3072

625

又∵△CAA₁，△A₁A₂A₃，△A₃A₄A₅，△A₅A₆A₇，…的面积成公比为

的等比数列
则：△CAA₁的面积为

（3）AB=c，AC=b，则S₁=S_△CAA1=

bc，公比q=

b2+c2

则：Sn=

bc（

b2+c2

）^n-1
当n=12时，S₁₂=S_△A11A12A13=

bc（

b2+c2

）¹¹

点评：本题主要考查的知识点是相似的性质及数列的应用，根据相似三角形中，对应线长度之比等于相似比，对应面积之比等于相似比的平方，是解决本题的核心知识点．

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