Question

11．已知a＞0，且对一切x≥0，有e^ax-ax²≥0，则a的取值范围是[$\frac{4}{{e}^{2}}$，+∞）．

Answer 1

分析 问题转化为ax≥lnax²，令h（x）=ax-lnax²，根据函数的单调性求出h（x）的最小值，得到关于a的不等式，解出即可．

解答 解：x=0时，成立，
x＞0时，e^ax-ax²≥0，
即e^ax≥ax²，两边取对数：
ax≥lnax²，
令h（x）=ax-lnax²，
h′（x）=a-$\frac{2ax}{{ax}^{2}}$=$\frac{ax-2}{x}$，
令h′（x）＞0，解得：x＞$\frac{2}{a}$，
令h′（x）＜0，解得：0＜x＜$\frac{2}{a}$，
故h（x）在（0，$\frac{2}{a}$）递减，在（$\frac{2}{a}$，+∞）递增，
∴h（x）_min=h（$\frac{2}{a}$）=2-ln$\frac{4}{a}$≥0，
解得：a≥$\frac{4}{{e}^{2}}$，
故答案为：[$\frac{4}{{e}^{2}}$，+∞）．

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及函数恒成立问题，是一道中档题．