Question

1．设某种产品50件为一批，已知每批产品中没有次品的概率为0.35，有1，2，3，4件次品的概率分别为0.25，0.2，0.18，0.02，求从某批产品中抽取10件中有1件是次品的概率．

Answer 1

分析 设Ai={一批产品中有i件次品}，i=0，1，2，3，4，B={任取10件检查出一件次品}，C={产品中次品不超两件}，由题意和全概率公式求出P（B）=$\sum_{i=0}^{4}P（{A}_{i}）P（B|{A}_{i}）$=0.196，再由Bayes公式能求出P（C）=$\sum_{i=2}^{2}P（{A}_{i}|B）$=0.588．

解答 解：设Ai={一批产品中有i件次品}，i=0，1，2，3，4，B={任取10件检查出一件次品}，
C={产品中次品不超两件}，由题意：
P（B|A₀）=$\frac{{C}_{1}^{1}{C}_{49}^{9}}{{C}_{50}^{10}}$=$\frac{1}{5}$，
P（B|A₁）=$\frac{{C}_{1}^{1}{C}_{49}^{9}}{{C}_{50}^{10}}$=$\frac{16}{49}$，
P（B|A₂）=$\frac{{C}_{2}^{1}{C}_{48}^{9}}{{C}_{50}^{10}}$=$\frac{16}{49}$，
P（B|A₃）=$\frac{{C}_{3}^{1}{C}_{48}^{9}}{{{C}_{50}^{10}}_{\;}}$=$\frac{16}{49}$，
P（B|A₄）=$\frac{{C}_{4}^{1}{C}_{46}^{9}}{{C}_{50}^{10}}$=$\frac{988}{2303}$，
∵A₀，A₁，A₂，A₃，A₄构成了完备事件组，
由全概率公式：
P（B）=$\sum_{i=0}^{4}P（{A}_{i}）P（B|{A}_{i}）$=0.196，
由Bayes公式，$P（{A}_{0}|B）=\frac{P（{A}_{0}）P（B|{A}_{0}）}{P（B）}$=0，
P（A₁|B）=$\frac{P（{A}_{1}）P（B|{A}_{1}）}{P（B）}$=0.255，
P（A₂|B）=$\frac{P（{A}_{2}）P（B|{A}_{2}）}{P（B）}$=0.333，
∴P（C）=$\sum_{i=2}^{2}P（{A}_{i}|B）$=0.588．

点评 本题考查概率的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意全概率公式、Bayes公式的合理运用．