已知函数f(x)的定义域为D.若存在区间[a.b]⊆D.使得f(x)满足:在[a.b]上是单调函数,在[a.b]上的值域是[2a.2b].则称区间[a.b]是函数f(x)的“理想区间 .给出下列命题:①函数f(x)=log3x不存在“理想区间 ,②函数f(x)=2x存在“理想区间 ,③函数f(x)=x2-3不存在“理想区间 ,④函数f(x)=8xx2+1� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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已知函数f（x）的定义域为D，若存在区间[a，b]⊆D，使得f（x）满足：
（1）f（x）在[a，b]上是单调函数；
（2）f（x）在[a，b]上的值域是[2a，2b]，则称区间[a，b]是函数f（x）的“理想区间”，给出下列命题：
①函数f（x）=log₃x不存在“理想区间”；
②函数f（x）=2^x存在“理想区间”；
③函数f（x）=x²-3（x≥0）不存在“理想区间”；
④函数f（x）=

x2+1

（x≥0）存在“理想区间”．其中真命题的是

（填上所有真命题的序号）

考点：函数单调性的性质

专题：函数的性质及应用

分析：由条件利用新定义、函数的单调性，逐一判断各个选项是否正确，从而得出结论．

解答： 解：①函数f（x）=log₃x递增，且f（x）=log₃x过原点的切线斜率为

log3e

，∵

log3e

＜2，∴log₃x=2x无实根，
∴不存在“理想区间”，故该命题为真；
②函数f（x）=2^x递增，且f（x）=2^x过原点的切线斜率为

log2e

，
∵

log2e

=eln2＜2.8×0.7=1.96＜2，∴2^x=2x有两个不等根，
故此函数存在“理想区间”，故该命题为真；
③函数f（x）=x²-3（x≥0）递增，当x²-3=2x，即x²-2x-3=0时，求得x=3或x=1，
在x≥0上有一个根，∴此函数不存在“理想区间”，故该命题为真；
④函数f（x）=

x2+1

，在[0，1）递增，（1，+∞）递减，而

x2+1

=2x的两根为0、

，
在单调区间上只有一个根，不存在“理想区间”，故该命题为假．
故答案为：①②③．

点评：本题主要考查函数的单调性的应用，体现了转化的数学思想，属于基础题．

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