Question

令函数f（x）=

sin πx 2 ，x∈[-1，1] 1-|2-x|，x∈(1，3]

，若mf（x）=x恰有2个根，则m的值为（　　）

• A、1
• B、2
• C、3
• D、0

Answer 1

考点：根的存在性及根的个数判断,分段函数的应用

专题：函数的性质及应用

分析：将方程转化为f（x）=

x

m

，作出函数f（x），和g（x）=

x

m

的图象，利用函数当x∈[-1，1]时，f（x）=sin

πx

2

是奇函数，g（x）也是奇函数，
∴根据奇函数的对称性可知在x∈[-1，1]内

解答： 解：若m=0，则方程x=0，此时只有一个解，不成立，
当m≠0时，方程等价为f（x）=

x

m

，
作出函数f（x），和g（x）=

x

m

的图象，则x=0是方程g（x）=

x

m

的一个根，
∵当x∈[-1，1]时，f（x）=sin

πx

2

是奇函数，g（x）也是奇函数，
∴根据奇函数的对称性可知在x∈[-1，1]内不可能有第二个交点，否则至少是3个．
要使方程mf（x）=x恰有2个根，则必有g（2）=f（2）=1，
即

2

m

=1，解得m=2，
故选：B

点评：本题主要考查方程根的个数的应用，利用数形结合是解决本题的关键．