Question

如图，直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，底面是等腰直角三角形，∠ACB=90°，侧棱AA₁=2，D、E分别是CC₁与A₁B的中点，点E在平面ABD上的射影是△ABD的重心G．
（Ⅰ）求A₁B与平面ABD所成角的大小（结果用反三角函数值表示）；
（Ⅱ）求点A₁到平面AED的距离．

Answer 1

分析：（1）连接BG，则BG是BE在面ABD的射影，易证∠EBG是A₁B与平面ABD所成的角，设F为AB中点，连接EF、FC，在三角形EBG中求出此角；
（2）连接A₁D，有VA1-AED=VD-AA1E，建立等量关系，求出点A₁到平面AED的距离即可．

解答：解：（Ⅰ）连接BG，则BG是BE在面ABD的射影，
即∠EBG是A₁B与平面ABD所成的角．
设F为AB中点，连接EF、FC，
∵D，E分别是CC₁，A₁B的中点，
又DC⊥平面ABC，
∴CDEF为矩形，连接DE，
G是△ADB的重心，
∴G∈DF，在直角三角形EFD中，
EF²=FG•FD=

1

3

FD²，
∵EF=1，∴FD=

3

．
于是ED=

2

，EG=

1×  2

3

= 

6

3

∵FC=

2

，CD=1
∴AB=2

2

，A₁B=2

3

，EB=

3

，
∴A₁B与平面ABD所成的角是arcsin

2

3

；

（Ⅱ）连接A₁D，有VA1-AED=VD-AA1E
∵ED⊥AB，ED⊥EF，又EF∩AB=F，
∴ED⊥平面A₁AB，设A₁到平面AED的距离为h，
则S△AED•h=S△A1AB•ED，
S△A1  AE  =

1

2

S△A1  AB  =

1

4

A1  A•AB=

2

，
S△AED =

1

2

AE•ED=

6

2

．
∴h=

2 × 2

6 2

=

2 6

3

，
即A₁到平面AED的距离为

2 6

3

．

点评：本小题主要考查线面关系和直棱柱等基础知识，同时考查空间想象能力和推理运算能力．