Question

20．若函数f（x）在[a，b]上的值域为[$\frac{a}{2}$，$\frac{b}{2}$]，则称函数f（x）为“和谐函数”．下列函数中：
①g（x）=$\sqrt{x-1}$+$\frac{1}{4}$；②h（x）=${log_{\frac{1}{2}}}$（（$\frac{1}{2}$）^x+$\frac{1}{8}$）；③p（x）=$\frac{1}{x}$；④q（x）=lnx．
“和谐函数”的个数为（　　）

• A． 1个
• B． 2个
• C． 3个
• D． 4个

Answer 1

分析 根据“和谐函数”的定义，结合函数的单调性，建立条件关系，利用数形结合进行判断即可．

解答 解：由题意知，若f（x）在区间[a，b]上单调递增，须满足：f（a）=$\frac{a}{2}$，f（b）=$\frac{b}{2}$，
若f（x）在区间[a，b]上单调递减，须满足：f（b）=$\frac{a}{2}$，f（a）=$\frac{b}{2}$，
①g（x）=$\sqrt{x-1}$+$\frac{1}{4}$在[1，+∞）为增函数；
则f（a）=$\frac{a}{2}$，f（b）=$\frac{b}{2}$，
即a，b是函数g（x）=$\frac{x}{2}$的两个根，
即$\sqrt{x-1}$+$\frac{1}{4}$=$\frac{x}{2}$，
则$\sqrt{x-1}$=-$\frac{1}{4}$+$\frac{x}{2}$，
作出函数y=$\sqrt{x-1}$和y=-$\frac{1}{4}$+$\frac{x}{2}$的图象如图：

则两个函数有两个交点，满足条件．
②h（x）=${log_{\frac{1}{2}}}$（（$\frac{1}{2}$）^x+$\frac{1}{8}$）是增函数；
则f（a）=$\frac{a}{2}$，f（b）=$\frac{b}{2}$，
即a，b是函数h（x）=$\frac{x}{2}$的两个根，
即${log_{\frac{1}{2}}}$（（$\frac{1}{2}$）^x+$\frac{1}{8}$）=$\frac{x}{2}$，
即（$\frac{1}{2}$）^x+$\frac{1}{8}$=（$\frac{1}{2}$）${\;}^{\frac{x}{2}}$=（$\frac{\sqrt{2}}{2}$）^x，
作出y=（$\frac{1}{2}$）^x+$\frac{1}{8}$和y=（$\frac{\sqrt{2}}{2}$）^x，的图象如图：

则两个函数有两个交点，满足条件．
③p（x）=$\frac{1}{x}$为减函数；
则p（b）=$\frac{a}{2}$，p（a）=$\frac{b}{2}$，
即$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{a}=\frac{b}{2}}\\{\frac{1}{b}=\frac{a}{2}}\end{array}\right.$，即ab=2，当a=$\frac{1}{2}$，b=4时，满足条件．
④q（x）=lnx在（0，+∞）为增函数．
则q（a）=$\frac{a}{2}$，q（b）=$\frac{b}{2}$，
即a，b是函数q（x）=$\frac{x}{2}$的两个根，
即lnx=$\frac{x}{2}$，
作出y=lnx和y=$\frac{x}{2}$的图象如图：

则两个图象没有交点，不满足条件．
故选：C

点评 本题主要考查函数与方程的应用，根据函数定义域和值域的关系，转化为函数与方程的关系，利用数形结合是解决本题的关键．综合性较强．