Question

8．已知函数f（x）=sin²2x-sin2xcos2x．
（1）化简函数f（x）的表达式，并求函数f（x）的最小正周期；
（2）若点A（x₀，y₀）是y=f（x）图象的对称中心，且${x_0}∈[{0，\frac{π}{2}}]$，求点A的坐标．

Answer 1

分析 （1）利用降次公式，二倍角公式，和角公式化简f（x）=$-\frac{{\sqrt{2}}}{2}sin（{4x+\frac{π}{4}}）+\frac{1}{2}$，代入周期公式计算周期；
（2）由对称中心的性质可知sin（4x₀+$\frac{π}{4}$）=0，结合x₀∈[0，$\frac{π}{2}$]求出x₀，得到A点坐标．

解答 解：（1）$f（x）={sin^2}2x-sin2xcos2x=\frac{1-cos4x}{2}-\frac{1}{2}sin4x$=$-\frac{{\sqrt{2}}}{2}sin（{4x+\frac{π}{4}}）+\frac{1}{2}$，所以f（x）的最小正周期$T=\frac{π}{2}$．
（2）∵点A（x₀，y₀）是y=f（x）图象的对称中心，∴sin（4x₀+$\frac{π}{4}$）=0，∴4x₀+$\frac{π}{4}$=kπ，x₀=$\frac{kπ}{4}$-$\frac{π}{16}$．k∈Z．
∵x₀∈[0，$\frac{π}{2}$]，∴$0≤\frac{kπ}{4}-\frac{π}{16}≤\frac{π}{2}（{k∈Z}）$，解得k=1或k=2，∴x₀=$\frac{3π}{16}$或x₀=$\frac{7π}{16}$．
∴点A的坐标为$（{\frac{3}{16}π，\frac{1}{2}}）$或$（{\frac{7}{16}π，\frac{1}{2}}）$．

点评 本题考查了三角函数的恒等变换，正弦函数的图象与性质，属于中档题．