Question

3．设复数z_n=x_n+i•y_n，其中x_ny_n∈R，n∈N^*，i为虚数单位，z_n+1=（1+i）•z_n，z₁=3+4i，复数z_n在复平面上对应的点为Z_n．
（1）求复数z₂，z₃，z₄的值；
（2）是否存在正整数n使得$\overrightarrow{O{Z_n}}$∥$\overrightarrow{O{Z_1}}$？若存在，求出所有满足条件的n；若不存在，请说明理由；
（3）求数列{x_n•y_n}的前102项之和．

Answer 1

分析 （1）利用已知条件之间求解z₂，z₃，z₄．
（2）求出${z_n}={（1+i）^{n-1}}{z_1}$，利用复数的幂运算，求解即可．
（3）通过${z_{n+4}}={（1+i）^4}{z_n}=-4{z_n}$，推出x_n+4=-4x_n，y_n+4=-4y_n，得到x_n+4y_n+4=16x_ny_n，然后求解数列的和即可．

解答 本题（18分），第1小题（4分），第2小题（6分），第3小题（8分）．
解：（1）z₂=（1+i）（3+4i）=-1+7i，z₃=-8+6i，z₄=-14-2i．…（4分）
（算错一个扣（1分），即算对一个得（2分），算对两个得3分）
（2）若$\overrightarrow{O{Z_n}}$∥$\overrightarrow{O{Z_1}}$，则存在实数λ，使得$\overrightarrow{O{Z_n}}=λ\overrightarrow{O{Z_1}}$，故z_n=λ•z₁，
即（x_n，y_n）=λ（x₁，y₁），…（3分）
又z_n+1=（1+i）z_n，故${z_n}={（1+i）^{n-1}}{z_1}$，即（1+i）^n-1=λ为实数，…（5分）
故n-1为4的倍数，即n-1=4k，n=4k+1，k∈N．   …（6分）
（3）因为${z_{n+4}}={（1+i）^4}{z_n}=-4{z_n}$，故x_n+4=-4x_n，y_n+4=-4y_n，…（2分）
所以x_n+4y_n+4=16x_ny_n，…（3分）
又x₁y₁=12，x₂y₂=-7，x₃y₃=-48，x₄y₄=28，
x₁y₁+x₂y₂+x₃y₃+…+x₁₀₀y₁₀₀
=（x₁y₁+x₂y₂+x₃y₃+x₄y₄）+（x₅y₅+x₆y₆+x₇y₇+x₈y₈）+…+（x₉₇y₉₇+x₉₈y₉₈+x₉₉y₉₉+x₁₀₀y₁₀₀）
=$（12-7-48+28）•\frac{{1-{{16}^{25}}}}{1-16}=1-{2^{100}}$，…（6分）
而${x_{101}}{y_{101}}={16^{25}}{x_1}{y_1}=12×{2^{100}}$，${x_{102}}{y_{102}}={16^{25}}{x_2}{y_2}=-7×{2^{100}}$，…（7分）
所以数列{x_ny_n}的前102项之和为1-2¹⁰⁰+12×2¹⁰⁰-7×2¹⁰⁰=1+2¹⁰²．…（8分）

点评 本题考查复数的基本运算，复数的代数形式混合运算，考查数列求和，考查计算能力．