Question

5．已知f（x）=-x²+2x-2，x∈[t，t+1]，若f（x）的最小值为h（t），求h（t）．

Answer 1

分析 由于函数f（x）=-x²+2x-2的图象的对称轴方程为x=1，且x∈[t，t+1]，分类讨论对称轴和区间的关系，求出f（x）的最小值．

解答 解：由于函数f（x）=-x²+2x-2的图象的对称轴方程为x=1，x∈[t，t+1]，
当t＞1时，函数f（x）=x²+3x-5在区间[t，t+1]上单调递减，
f（x）的最小值为h（t）=f（t+1）=-t²-1；
当1∈[t，t+1]时，即0≤t≤1时，函数f（x）在区间[t，1]上单调递增，
在区间[1，t+1]上单调递减，
当0≤t≤$\frac{1}{2}$时，f（t）≤f（t+1），可得f（x）的最小值为h（t）=f（t）=-t²+2t-2；
当$\frac{1}{2}$＜t≤1时，f（t）＞f（t+1），f（x）的最小值为h（t）=f（t+1）=-t²-1；
当t+1＜1，即t＜0时，函数f（x）=-x²+2x-2在区间[t，t+1]上单调递增，
f（x）的最小值为h（t）=f（t）=-t²+2t-2．
综上可得，h（t）=$\left\{\begin{array}{l}{-{t}^{2}+2t-2，t≤\frac{1}{2}}\\{-{t}^{2}-1，t＞\frac{1}{2}}\end{array}\right.$．

点评 本题主要考查二次函数的性质，函数的单调性，考查分类讨论的数学思想，属于中档题．