Question

10．在四棱锥A-BCDE中，AB⊥平面BCDE，底面BCDE是正方形且AB=CD，点G，F分别是AD和CD的中点．求：
（1）异面直线GF和AE所成角的大小；
（2）在平面ABC内，是否存在一点H，使得HG⊥平面ADE？若存在，请指出该点的位置，若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）以B为原点，BC为x轴，BE为y轴，BA为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线GF和AE所成角的大小．
（2）设在平面ABC内，存在一点H（a，0，c），使得HG⊥平面ADE，利用向量法能求出H（1，0，0），H为BC中点时，HG⊥平面ADE．

解答 解：（1）以B为原点，BC为x轴，BE为y轴，BA为z轴，建立空间直角坐标系，
设AB=CD=2，则F（2，1，0），A（0，0，2），D（2，2，0），G（1，1，1），E（0，2，0），
$\overrightarrow{GF}$=（1，0，-1），$\overrightarrow{AE}$=（0，2，-2），
设异面直线GF和AE所成角为θ，
则cosθ=$\frac{|\overrightarrow{GF}•\overrightarrow{AE}|}{|\overrightarrow{GF}|•|\overrightarrow{AE}|}$=$\frac{|2|}{\sqrt{2}×\sqrt{8}}$=$\frac{1}{2}$，
∴θ=60°，
∴异面直线GF和AE所成角的大小为60°．
（2）设在平面ABC内，存在一点H（a，0，c），使得HG⊥平面ADE，
∵$\overrightarrow{HG}$=（1-a，1，1-c），$\overrightarrow{AD}$=（2，2，-2），$\overrightarrow{AE}$=（0，2，-2），
∴$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{HG}•\overrightarrow{AD}=2（1-a）+2-2（1-c）=0}\\{\overrightarrow{HG}•\overrightarrow{AE}=2-2（1-c）=0}\end{array}\right.$，解得a=1，c=0，
∴H（1，0，0），H为BC中点时，HG⊥平面ADE．

点评 本题考查异面直线所成角的大小的求法，考查线面垂直的证明，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．